DJL的建系指南

前言——我与解析几何

升入初中以来，关于平面几何，我的脑海里一直存在着一连串的问题：什么是平面上的图形？如何确定一个三角形？圆的本质是什么？如何定义这一系列的几何图形？……

这些问题，虽然在初中的数学学习中，通过一系列公理、定理、命题的学习逐渐解开，但这些方法过于复杂，在我看来一点也不优雅。我不止一次地问自己：“不就是一堆直线吗？三角形、矩形、平行四边形……它们的本质虽不能说是完全一致，但一定存在很多相似之处，一定存在一个通用的方法解决的”。

这就像我在小学时学的许多奥数题。在现在看来，我虽不记得那些行程问题、工程问题，还有那一度困扰我的牛吃草问题的解决方法，但当我上了初中，我才真正醒悟到：小学奥数的本质，不就是把一堆可以使用方程解决的问题，通过其他更加难于理解的方法（当时我们称它们为“算术方法”）解决吗？

值得庆幸的是，我在小学就隐约意识到了这一点。之后，我逐渐自学了如何解二元方程，这成为我后来“打遍天下（指奥数班）无敌手”的最重要的法宝。

直到初二上半学期的某一天，我接触到了一次函数与解析几何。几乎从我接触解析几何的那一刻起，我就意识到了它的巨大潜力。它似乎可以解决我上面所说（或者说是之前所想）的所有问题，我对此产生了浓厚的兴趣。

之后一段时间的数学课上，上课走神几乎成了日常，兴趣驱使着我不断发掘关于一次函数的一切，我还取得了在数学老师讲一个书上没有的公式前的10分钟自己推导出来它的 巨 大 成 果。之后我把它写成了博客（https://www.cnblogs.com/dong628/p/11920627.html），成为了我当时博客园阅读量最高的一篇。

上面说了这么多，表面上看来都是我由于兴趣搞的一系列没啥卵用的成果，但实际上上面这些如果自行代入应试中的几何题也毫无违和感。

那些我脑海里存在的问题，正是解决所有几何问题的基础。在我看来，当看到这些图形、知识点的本质之后，解题自然不是一件难事。我在初中的平面几何课程中学习了各种各样的图形，解决了各种各样的难题，为一道道题型建立了一个个模型……这就像我脑海里的问题被一个个解决，但还是没有找到一个通用的方法。

在初三的数学课上，我不止一次地在老师询问还有什么其他方法时，说出“建系”二字。我逐渐意识到，我一直期盼的解题方法正在缓慢地浮出水面，而我当前最需要的，是把解过的题和一直在运用的方法总结归纳，再去炼制出一件法宝，去拿下这场小升初以来的第二次大考……

第零章 关于本篇

这篇文章主要包括了我在初中三年对于平面几何与解析几何的一些认识，以及我在做题时使用“解析法”时的一些技巧。我写这篇文章主要是为自己总结这些学过的定理、图形和函数，算是对初中数学最重要的知识做一个总结吧。尽管它更多的是给自己写的，但最后还是会公开出来，所以这个第“零”章就算是给屏幕前的其他读者特别撰写的吧（虽然我也不指望有多少人会看到。。）

文章里许多内容可能对于一个初三学生是非常容易理解的，这是因为我尽可能去讲得详细。解释一个问题，我希望我可以从最基本的定义和上文推理出的定理出发，而不是使用过多“显而易见”这类一点也不显而易见的解释。（当然谁不喜欢凑字数呢

我希望我在撰写这篇文章时，可以多与实际的题目结合起来。在这里写下这句，是在开始时下定的决心，也是对之后撰写过程中的自己的鞭策。

下文中的插图，大多是使用 GeoGebra 这个软件制作的。这是一款非常优秀的，免费且跨平台的数学工具。官网在这里：https://www.geogebra.org/。官网上是有软件的web在线版本的，并且它有云端存储功能，所以以下大部分的图都可以在我的主页 https://www.geogebra.org/u/djl 找到它的源文件。

最后推荐个游戏 Pythagorea，这个据我所知可以在大部分国内的安卓应用商店下载到。这是一个对学习很有帮助的一个数学游戏，难度循序渐进。最关键的，它只有“描点”和“连线”两种操作。它对我学习解析几何有很大的帮助。

第一章 定点和动点

众所周知，两点可以确定一条直线，而两条直线可以确定一个平面。点是组成平面几何图形的基础，一个点是否为定点决定了图形是否被确定。就让我们从最基本的点的分析开始，逐步解决问题吧。

需要注意的是，如果屏幕前的你没有任何基础，下面的内容看不懂是很正常的，这算是一个“快速入门”，如果要循序渐进的话，建议直接跳转到 [第三章 建立平面直角坐标系](#第三章 建立平面直角坐标系) ，况且我这篇文章也是尽可能地让一些没有基础的读者可以理解的。

1.1 定点

一般来说，在坐标系中确定了坐标的点都是定点。就像这样： $A(1, 1) / B(3, 5)$ ……反之，在坐标系中，定点的坐标也应该是确定并且可以被计算得到的。

就拿最近的一次期末考试的第15题举例：

如图，矩形纸片 $ABCD$ 中，$AD=6$ ， $AB=8$ ，点 $E$ 在边 $DC$ 上，将纸片沿 $AE$ 折叠，点 $D$ 落在 $D'$ 处

如上图所示，如果我们以 $A$ 为原点，$AD$ 所在直线为 $y$ 轴，$AB$ 所在直线为 $x$轴 建立平面直角坐标系，那么按照题目，$D$ 的坐标应该是 $(0, 6)$，$B$ 的坐标为 $(8, 0)$ 。并且，根据我们学过的矩形的性质，很容易得到 $C(8, 6)$ 。根据 $A$ 为原点的定义，$A$ 的坐标自然是 $(0, 0)$ 。这样， $A$ 、 $B$ 、$C$ 、 $D$ 四个点都是确定了坐标的定点。

两条确定的，相交的直线可以确定一个点。

众所周知，一次函数的图象是一条直线。一次函数的解析式一旦确定，这条直线就确定了。相反，两点可以确定一条直线，那么两确定的点也可以确定一条直线的解析式。

就拿这张图打比方，两条直线 $y=2x+3$ 和 $y=-x+6$ 是确定的，那么显而易见，它们的交点 $(1, 5)$ 是确定的。

1.2 动点

判断一个点是动点要比判断它是定点稍难一些。根本原因是大部分题并不会提及“动点”一此，但有一些标志可以帮助我们判断。

“点X 在 直线/线段/射线/平面/XX象限 上”，这就有可能是一个动点了。

需要注意的是，这只是有可能，有相当一部分题目中这些点实际上是固定的，这就需要看其他有关这个点的条件了。而且根据我的经验，分析这些条件往往是整道题目中最具有难点的部分。

还拿刚才那道题举例：

这道题其实是一道选做题，就是给你两个选项 $A$ 和 $B$，让你任选一题做（但其实整个学校都是统一选的）。$A$ 题和 $B$ 题 不光有不同的问题，也大概率会给出不同的条件，就比如这道题，它一部分条件是 $A$ 题和 $B$ 题都适用的：

如图，矩形纸片 $ABCD$ 中，$AD=6$，$AB=8$，点 $E$ 在边 $DC$ 上，将纸片沿 $AE$ 折叠，点 $D$ 落在 $D'$ 处.

而在这个大前提的下面，又有两个可选的条件和问题：

A. 当点 $D'$ 在对角线 $AC$ 上时，$DE$ 的长为：

B. 当点 $D'$ 在对角线 $DB$ 上是，$DE$ 的长为：

通过上面的分析，我们知道，如果以点 $A$ 为原点，$AB$ 所在直线为 $x$ 轴 建立平面直角坐标系的话，$A/B/C/D$ 均为定点。

而大前提中关于点 $E$ 的信息，只有一条：点 $E$ 在边 $DC$ 上。

这种情况中，点 $E$ 就成为了一个动点，前提是没有了关于其他点 $E$ 的信息。

并且，题目中的点 $D'$ 是点 $D$ 通过沿着 $AE$ 折叠的，也就是说，点 $D'$ 和点 $D$ 关于直线 $AE$ 对称。众所周知，翻折这个操作，一旦 需要翻折的点 与 折痕 确定下来，翻折得到的点就是确定的，它的本质是轴对称变化。

在这个翻折操作中，点 $D$ 和确定折痕 $AE$ 的一点，也就是 点 $A$ 都已经确定，唯一的动点是点 $E$ ，所以可以得知点 $D'$ 的位置事实上是随着点 $E$ 的变化而变化的。

所以，如果抛开下面的可选条件，点 $E$ 和点 $D'$ 都是动点。

但如果加上下面选做部分的任意一条，情况就截然相不同了，下面来分析一下点 $D'$ 到底是定点还是动点：

A选项 提供了一个附加条件：点 $D'$ 在 对角线 $AC$ 上。这条前面有一个“当”字，是因为根据大前提中给出的条件，点 $D'$ 还是一个动点，在这道题中，我们可以很简单地理解为增加了一个条件：“点 $D'$ 在 对角线 $AC$ 上”。

这时候，我们就不能说 $D'$ 一定是一个动点了，还需要做进一步的运算——我们还需要知道满足这个条件的点 $D’$ 是不是只有一个。

逆向思维一下：如何确定一个点？两条相交的直线可以确定一个点。那么我们只需要看看是否可以有 一条直线 和 对角线 $CA$ 相交确定一个点，使它可以由上面的翻折操作得到。

上面那句话可能有些绕，所以我要在这里直接给出具体的方法：通过某种方式得到点 $D'$ 可能运动到的所有点（以下称为点 $D'$ 的 运动轨迹），然后看一看有没有一个点在对角线 $AC$ 上。

我们希望这个运动轨迹 是一条直线，但不巧的是，它并不是一条直线，而是一个圆。但很巧的是，圆和直线最多会有两个交点，说明我们其实已经成功了一半。

为了确定这个圆，我们需要联想到轴对称的性质：对称轴上任意一点与两个对应点的连线都是相等的。也就是说，下图中，$DF=D'F$ ，$DG=D'G$ ，$DA=D'A$……

线段 $DA$ 的长度是确定的，那么因为 $DA=D'A$，线段 $D'A$ 的长度同样是确定的。同时，点 $A$ 是一个定点。

线段的长度和一个端点都确定了，另一个端点所有可能的位置，组成的图形就是一个圆，毕竟圆的定义就是 “平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形”，和我们之前的条件是那么的吻合（实际上我在写到这里时去翻了一下刚学过的定义，感到相当惊奇，第一次在教科书上看到“定点”一词233）。

后面还有更重要的半句：“定点就是圆心，定长就是半径”。

所以，根据这个定义，很轻松地想到下一步操作：以定点点 $A$ 为圆心，以定长，即 $AB$ 的长为半径画圆。

这时候我们再把线段 $AC$ 连接起来：

就可以发现这个圆和线段只有了一个交点（如果把直线 $AC$ 画出来，还可以发现另一个交点）。

此时这个 点 $F$ 的位置，就是 选项A 中，$D'$ 点 的位置。

最终得出：点 $D$ 是一个定点。

选项B 中的条件和 选项A 只有一点点细微的差别，事实上只是把 对角线 $AC$ 换成了 对角线 $BD$ ，也是一个圆与线段的交点，其他地方和 选项A 类似，在这里只有一点想要说的。

如果按照上面的方法画出来上面这个图的话，我们可以发现，线段 $BD$ 与这个圆其实会有两个交点，分别是上图中的 点 $D$ 和 点 $D'$ ，也就是说，代入题目的话，当 $DE=0$ 时，也可以满足 选项B 的条件。但大前提中提到的题目背景是将一个矩形纸片折叠，所以就不存在这种 $DE$ 为 $0$ 导致的“似折非折”的结果了。

（话说我也是在写到这里的过程中突发奇想，想到这种可能性，如果当时的考题把翻折的背景去掉，我就一定会把这道题做错的。果然这种看似简单的题如果用这些准确的几何或者代数方法做的话，还是很有可能有意想不到的发现呀）

第二章 确定一个图形

在学校，当别人问我几何问题的做法时，我经常会和他们说，要想做对这道题，首先要理解它，要想完全理解这道题，首先要知道这个图形是怎么画出来的。思考图形的定义，是我在做一般几何题第一件要做的事情，也是我自认为可以把题解出来的关键。解析几何本来就是用数值准确定义几何形状，在思考怎样建系之前梳理清楚图形的定义，对如何建系有很大帮助。

上面的内容是关于最基本的点的，下面我们就把视角转向整个图形，通过判断一些例题图形的定义，来感受图形是如何被确定的。

2.1 山西省2020中考15题

如图，在 $Rt \triangle ABC$ 中，$\angle ACB=90^{\circ}$，$AC=3$，$BC=4$，$CD \perp AB$，垂足为点 $D$ ，点 $E$ 为 $BC$ 的中点， $AE$ 与 $CD$ 交于点 $F$ ，则 $DF$ 的长为：

先来看一些前置知识：

众所周知，确定一个三角形一共有五种方法，分别是 SSS，SAS，ASA，AAS，HL（就是判断全等那五种）。判断全等的条件也是确定三角形的条件，是因为要想让两个三角形全等，它们一定都需要相同的定义，而当两个三角形有这几种相同的定义时，它们便全等了。

接下来，我们根据题目的定义，尝试把这道题的图形画出来。

先看第一个条件，“在 $Rt \triangle ABC$ 中，$\angle ACB=90^{\circ}$，$AC=3$，$BC=4$”。度数确定为 $90^{\circ}$ 的 $\angle ACB$ 是 $AC$ 和 $BC$ 的夹角，而后面也给出了 $AC$ 和 $BC$ 的长度。此时，这个三角形两边（ $AC$ 和 $BC$ ）的长度确定，并且它们的夹角确定，所以这个三角形就被这样确定了（SAS）。那么要画这个图的第一步操作就是：先作一个直角，顶点为 $C$ ，在一边的 4（单位）处定一个点，叫作 $B$ ,在另一边的 3（单位）处定一个点，叫作 $A$ ，并且连接 $AB$ ，然后就形成了 $\triangle ACB$ 。

继续往后看，“ $CD \perp AB$ ，垂足为点 $D$ ” 这个条件定义了一条垂线，通常垂直符号 “$\perp$” 前面的那条直线就是被定义的那条（毕竟是主语）。$AB$ 是确定的三角形 $\triangle ABC$ 的一条边，于是它也是确定的。垂直于 $AB$ 的直线有很多，但过一定点只能确定一条，而这条直线叫作 $CD$ ，也就是说它过点 $C$ 和点 $D$ ，而 $C$ 是一个定点。所以说，$AB$ 的垂线过了一个定点 $C$ ，还过了一个点 $D$ ，并且 $D$ 是垂足。于是作这个图的下一步就是：过点 $C$ 作 $AB$ 的垂线，垂足为 $D$ 。

下一个条件是：“点 $E$ 为 $BC$ 的中点，$AE$ 与 $CD$ 交于 $F$ ”。这个条件先是定义了一个点 $D$ ，是 $BC$ 的中点。而 $BC$ 之前已经确定过，是 $\triangle ABC$ 的一条边，于是我们就可以找到 $BC$ 的中点，将它命名为 $D$ 。后半句 “$AE$ 与 $CD$ 交于 $F$ ” 的主语 $AE$ 此时是不存在的，但两个端点 $A$ 和 $E$ 都是定点，所以下一步就要连接 $AE$ ，让定义中的 $AE$ 在图中体现出来。“与 $CD$ 交于 $F$ ”，也就是与 $CD$ 有一个交点，叫作 $F$ 。所以我们最后一步就是找到 $AE$ 和 $CD$ 的交点，命名为 $F$ （注意：前面的 $AE$ 并没有说是直线或是线段，所以如果线段 $AE$ 和 $CD$ 没有交点的话，应该把 $AE$ 作为直线）。

这样，这幅图就画出来了，整个过程如下：

2.2 2020～2021学年九上期末考试 23题

这份卷子是我在21年1月的期末考试卷，当时我没有第一时间想到我最擅长的解析法，并且时间不够，导致最后没有解出这道题。而这道题在当时也让我再次认识到了解析法的强大，有了写这篇文章的动力。所以在接下来的内容中，我会多次拿此题举例。

先看题目：

数学素材：

如图1，正方形 $ABCD$ 中， $AB=6cm$，正方形 $EFGH$ 是一张透明的胶片，$EF > AB$ .

数学猜想：

正方形胶片的顶点 $E$ 在正方形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ 上运动，$EF$ 过点 $B$ ，$EH$ 与射线 $DC$ 交于点 $P$ ，猜想线段 $BE$ 与线段 $EP$ 之间的数量关系，并借助图1说明理由；

数学探究一：

如图2， 正方形胶片的顶点 $E$ 在 $AC$ 上，$EF$ 过点 $B$ ，$AE=\frac{3\sqrt{2}}{2}cm$ ，对角线 $FH$ 过点 $C$ ，请直接写出胶片的边长；

数学探究二：

如图3，正方形胶片的顶点 $E$ 与正方形 $ABCD$ 的顶点 $A$ 重合，连接 $BD$ 与边 $EF$ ，对角线 $AG$ 分别交于点 $M$，$N$ ，若 $DN=2\sqrt 2 cm$，求 $AN$ 和 $BM$ 的长.

一般这种综合与实践题中，第一个版块诸如“数学素材”“问题情境”之类的，都可以看作是整道题的条件，也就是“大前提”。

2.2.1 数学素材 & 数学猜想

先来分析数学素材，以下是题目给的图一：

第一句“正方形 $ABCD$ 中，$AB=6cm$ ”。这句话首先告诉我们图中含有一个正方形 $ABCD$ ，光凭借这个条件肯定不能确定它，但题目紧接着又给出 $AB=6cm$ 。乍一看貌似还是不能确定这个正方形，因为题目甚至还没有给出任何一个点的具体位置，但换一个角度想，这些条件已经可以让两个满足这个条件的正方形全等了，并且一旦建立坐标系，就可以很轻松地根据坐标系的定义算出各个点的坐标了。事实上，正多边形的条件保证了它的每个角被确定，只要再确定一条边，因为所有边都是相等的，所以所有的边都可以确定，这个正多边形也就确定了。

图形的确定实际上是需要知道位置的，但位置一直都是一个相对的概念，题目到这里为止因为只有一个正方形，所以我们可以把它当作参考系，来让之后确定的图形与它建立起位置关系，所以在这里是不需要关注图形的位置的。（后面的分析将用正方形 $ABCD$ 的位置作为参考，相当于是根据它的位置建立了一个平面直角坐标系吧）

“数学素材”的后半句中，“正方形 $EFGH$ 是一张透明的胶片” 告诉我们有一个正方形 $EFGH$ ，但并未给出这个正方形的边长，因此它本身并没有确定，并且题目也没有给出任何的两个正方形之间的位置关系（虽然图上显而易见，但我们要的是严谨），只能说这句话算是个铺垫吧。而 “$EF>AB$” 对贯穿解析几何的定量分析没有什么作用，就当个定性的东西和给出的图形结合起来看吧。

然后看数学猜想：

“正方形胶片的顶点 $E$ 在正方形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ 上运动” 一句中，我们可以得到 $E$ 在 $AC$ 上的条件，在 数学素材 声明（没有定义）两个正方形纸片之后，它们之间本来没有任何联系，这个条件就是建立两个正方形之间联系的。值得一提的是，“正方形 $ABCD$ 的对角线” 是一条线段，如果要通过解析法算它和某一条线的交点时，一定要关心一下取值范围，因为并不是任何一条线段都可以和另一条直线（线段）相交。

“ $EF$ 过点 $B$ ”一句也是在把两个图形建立联系。按照这个题目的背景，如果有一张透明胶片 $EFGH$ 的话，要想将胶片摆放成题目要求的样子，首先要按照上一个条件找到它的 $E$ 点，放在线段 $AC$ 的任意一个位置；然后保证点 $E$ （相对于 $ABCD$ ）的位置不变，通过旋转 $EFGH$ 可以使 $EF$ 过点 $B$。

“ $EH$ 与射线 $DC$ 交于点 $P$ ”是对点 $P$ 的定义。 $DC$ 原本作为一条正方形的边，是一条线段，但这里题目强调 “射线 $DC$ ”，说明当线段 $EH$ 和线段 $DC$ 没有交点的时候， $P$ 有可能 依然存在，只是需要将 $DC$ 延长。这个条件不会改变 $DC$ 的定义，如果之后的题目中出现 $DC$ ，指的依然是那条线段。

后面的“猜想……”就不属于条件了，后面再研究这些。

2.2.2 数学探究一

“数学探究一”的这些条件，使这个图形最终可以确定。

“正方形胶片的顶点 $E$ 在 $AC$ 上，$EF$ 过点 $B$ ” 一句在上面的 “数学猜想” 中已经提及（因为这个版块和上面的“数学猜想”是并列关系，所以这里还需要再次说明），也就是那句 “正方形胶片的顶点 $E$ 在正方形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ 上运动， $EF$ 过点 $B$ ”，这里就不再反复解读了。

下一句就非常关键了，因为它直接确定了 $E$ 的位置。题目给出了 “ $AE=\frac{3\sqrt{2}}{2}cm$ ”。此时的图形中 $ABCD$ 均为定点，如果只看这个条件，$E$ 应该是无法确定的，因为平面上与一个定点距离固定的点有无数多个，它们组成了一个圆。但前面的条件 “正方形胶片的顶点 $E$ 在 $AC$ 上”使得符合条件的点 $E$ 只有一个，就是那个圆和线段 $AC$ （一般类似的，图中没有延长趋势，并且题目中没有特别说明的线，被认为是线段）的交点。而这样的交点显然只有一个，于是 $E$ 被确定下来。

下面就是最关键并且是整个小标题中最难分析的一个条件了：“对角线 $FH$ 过点 $C$ ”。这个时候正方形 $EFGH$ 还没有被定义，因为虽然一条边上的两个点 $E$ 和 $B$ 确定了，但这仅仅可以确定一个直角，正方形的边长还没有被确定。也就是说，如果没有这个条件，将 $EB$ 无限延长，在延长线上随便找一个点 $F$ ，以 $EF$ 为一边作正方形，都可以满足上面的条件。

如果要画图的话，这幅图可以是这样的：

或者是这样的：

然而加上这个条件，满足的正方形 $EFGH$ 就只有一个了。

因为 $\angle EFH$ 的角度一直都是 $45^{\circ}$ ，也就是说，如果把上面的三张图叠加起来，$FH$ 应该都是相互平行的。平行于 $FH$ 的直线同样是有无数条，但题目中的 $FH$ 过点 $C$ ，就可以把它确定了。于是我们如果要画图的话，我们可以先随便在 射线$EB$ 上找一个点 $F$，再向右作一个 $45^{\circ}$ 角（把正方形做出来也可以），然后在点 $C$ 上找到一条直线和它（指角的另一条边）平行，也就是要过点 $C$ 作它的平行线。

至此，这个图形就被确定了。

2.2.3 数学探究二

虽然这一问是整张卷子最后一道题的最后一小问，一般来说会是全卷最难的一道题，但我个人认为这道题从分析到做起来都不是最后一题的水准，因为它用解析几何做起来实在是太简单了，下面简单分析一下。

第一句 “如图3，正方形胶片的顶点 $E$ 与正方形 $ABCD$ 的顶点 $A$ 重合” 直接就给出了胶片 $EFGH$ 和正方形 $ABCD$ 的一条关系，此时 $ABCD$ 的一个点 $A$ 被确定，还达不到确定这个正方形的条件。

“连接 $BD$ 与边 $EF$ ，对角线 $AG$ 分别交于点 $M$，$N$ ” 定义了线段 $BD$ 、$M$ 、 $N$ 。这个条件带来的影响仅仅是在图中多了几个本来存在的线段和交点罢了。

“ $DN=2\sqrt{2} cm$ ” 这个条件才是最重要的。根据上面的条件，我们可以判断，正方形 $EFGH$ 正在绕着点 $A$ 旋转。并且不难看出，随着正方形的旋转，$DN$ 的长是一直变化的。这个条件限制了 $DN$ 的长度为 $2\sqrt{2} cm$ ，也就限制了 $DN$ 的旋转。具体来说，$DB$ 是一条线段，并且 $D$ 是其中一个端点，还是定点。如果要找到 $DB$ 上的 $N$ ，要以点 $D$ 为圆心，$DN$ 的长度为半径作圆，可以发现和这条线段只有一个交点，这个图形就是这样被确定的。

看到这里，可以发现，在数学探究二中，始终没有一个条件可以确定正方形 $EFGH$ 的边长，在这里只确定了两条边和一个交点，相当于是一个 $90^\circ$ 角，不过后面的问题也不需要这个正方形的就是了，所以 $FG$ 和 $HG$ 没有任何用处，或许是用来迷惑同学们的。

第三章 建立平面直角坐标系

在7000多字的疯狂铺垫之后，我们终于可以进入正题，把坐标系与上面的几何题结合起来了。

尽管这篇文章主要是讲解析法，但上面的内容实际上是我看到任何一道几何题都会去想的问题。将这一部分放到这个位置，也是因为我只有在用以上的方法分析完一道题之后才会决定使用何种方法解决，所以这部分首先要解决的问题就是，什么情况下适合用解析法。

3.1 什么时候用这个方法

简单来说，这个图形中最好没有动点。虽然这种水题现在是出的越来越少了吧，但貌似大部分出题人还认为这种没有动点的水题还可以难住不少不会建系只会碰运气用各种方法试着做的学生吧（不过确实有很多人会被这种题难住hhh），所以在中考数学试卷上还能在选择或填空最后一道题中看到这种题的身影。。

3.2 如何定义一个坐标系

二维的直角坐标系是由两条相互垂直、相交于原点的数线构成的。在平面内，任何一点的坐标是根据数轴上对应的点的坐标设定的。 ——Wikipedia

上面这句中的“数线”指的就是我们熟知的数轴（不知道这里为什么要称作“数线”，我在网上都没有看到过多关于这个词的信息）。那么众所周知，确定一条数轴的三要素分别是：原点、方向、单位长度。也就是说，我们只要确定两条互相垂直的数轴，就可以确定一个坐标系了。

然而，实际上并没有这么复杂。

一条数轴确定之后，另一条数轴既然和它垂直，还相交于原点（相当于垂足是原点），就凭这点就可以确定原点了。再加上两条数轴的单位长度需要相等，所以单位长度只需要确定一条数轴就可以确定了。

再加上一般题目都会已知一些线段的长度，于是可以非常方便地使用它们的单位来作为单位长度。这样一来，需要确定的只有一条数轴的原点与方向了。

并且，由于一般的题目都会给出图形，那么“如图所示”又可以描述许多抽象的概念比如 方向（因为初中阶段还没有向量这个玩意。。）

于是在定义的时候，只需要指出几个量就可以了，比如这样。

这幅图是上面举的“数学探究一”的例子，如果要像图中那样建立坐标系的话，答题卡上应该有这样一句：

“以 点$B$ 为原点，$BC$ 所在直线为 $x$ 轴，$BA$ 所在直线为 $y$ 轴，如图所示建立平面直角坐标系”

题目中已经给出每条线段的长度，因此就不需要在定义中单独确定单位长度了。注意上面那个“所在直线”，因为数轴是一条直线，而提及 $BC$ 可以指的是一条线段，所以要加上 所在直线 这四个字。

3.3 在哪里建系

光是知道坐标系的定义是没有用的，更重要的是要考虑坐标系和图形的位置关系。

一般来说，我们在作图的时候都是根据坐标系，“通过连接 $(x_1, y_1)$ 与 $(x_2, y_2)$ ” 之类的描述来定义图形。然而，我们在做一般几何题时，题目只会给出图形的定义，并不会给出坐标系。也就是说，我们要把这个过程反过来了，先确定图形，再根据图形来确定坐标系。

建立坐标系的根本目的是为了更好求解问题，所以在建系的时候最基本的原则即是尽可能使运算简便，这也是这一个章节存在的必要性。

3.3.1 原点的选择

首先，原点当然是要选在一个已经定义过的点上，也就是定点上。在这个基础上，我推荐把原点选在多条线的交点上，或者说是连线最多的点上。

这样做的好处非常明显，那就是那些过这个交点（也就是原点）的直线或线段，都可以用正比例函数来表示。很多时候，尤其是在复杂的计算中，一次函数多一个常数项会带来非常大的额外计算量，从而使运算速度和准确率受到影响。所以，通过这种方法来使一些直线的常数项为0，可以大大简化运算过程。

3.3.2 坐标轴的选择

原点确定之后，接下来就要定义两个坐标轴了，大多数情况下，可以只说明一条坐标轴的定义，因为当确定了原点和一条坐标轴之后，另一条坐标轴即是过原点的，关于确定的那条坐标轴的垂线。

以我的经验，两条坐标轴最好是题目中已经定义好的两条直线。因为它们需要相互垂直。所以我在考虑在哪里建系时，最先做的事情就是找到两条相互垂直的直线或线段。以它们为坐标轴，好处就是在计算与这两条直线（或是线段所在直线）上的交点时，计算量要稍小一点。

如果题目中有动点，我强烈建议把坐标轴定义为动点所在的直线，如果这样做，在用字母表示动点的坐标时，只有横坐标或是纵坐标会变化了，另一个坐标会一直是 0 ，可以大大减少运算量。

3.4 一些例子

在上面 [第二章 确定一个图形](#第二章 确定一个图形) 章节中，我通过两个例子来讲述了 图形是如何被确定的，这章我们就书接上回，以这两个图形为例，为它们建立一个合适的平面直角坐标系。

3.4.1 山西省2020中考15题

题目在这里：[山西省2020中考15题](#2.1 山西省2020中考15题)

在分析完图形，并且得知这个图形已经确定，决定用建系方法解决的时候，我们接下来要解决的问题就是 在哪里建系。

根据上面一节的内容，两坐标轴最好是题目中已经定义过的直线或线段所在的直线，也就是说，我们要找到一个直角。

最显而易见的，当然就是 $Rt\triangle ABC$ 的直角 $\angle ACB$ 。所以，我们可以以两条直角边为两个坐标轴，建立平面直角坐标系，如下图所示：

还有一个不那么显而易见的建系方法，我们发现在题目的定义中，$CD\perp AB$ ，所以我们也可以以这两条线段所在直线为两条坐标轴，来建立平面直角坐标系，比如下图中，坐标系的定义是 以点 $D$ 为原点，$AB$ 所在直线为 $x$ 轴，建立平面直角坐标系。

事实上，第二种方法虽然不容易想到，但是更加容易计算出最终的结果，也就是 $DF$ 的长，具体的计算在后面的章节中会有说明。

3.4.2 2020～2021学年九上期末考试 23题

题目在这里：[2020～2021学年九上期末考试 23题](#2.2 2020～2021学年九上期末考试 23题)

与上一道题不同，这道题建系的选择就比较多了，而且在建系之后计算没有什么难度，这个后面再详细说明。这里我们就为题目中定义的两个图形，建立一个合适的平面直角坐标系。

在[上面的章节](#(2). 数学探究一)中，我们已经确定了，数学探究一的图形是已经被确定的。

这道题要求出正方形 $EFGH$ 的边长。在看到这幅图之后，我相信大部分人的第一反应就是以正方形 $ABCD$ 的一个顶点为原点，以与这个顶点相邻的两条边 所在的直线为坐标轴，来建立平面直角坐标系，如下图。

可能有人会想到，既然要求边长也就是 $FE$ 的长度，那么可以把 $F$ 设为原点，$FG$ 和 $FE$ 所在直线确定为坐标轴呀，这样线段的长度也好求一些。不过虽然这个图形已经确定，但我们目前还不知道正方形的边长，而这样建系的话，我们甚至连其他点的坐标都很难求出，所以还是按照上面的方法建系比较好。

接下来看图二，题目要求的是 $AN$ 和 $BM$ 的长，这个时候我们还是找到了正方形 $ABCD$ 的四个直角，由于求的两条线段的一个端点分别是 $A$ 和 $B$ ，所以最好把坐标系的原点定义在 点 $A$ 或点 $B$ 上，计算可能会更简便一些。因为过点 $A$ 的线更多一些，这里，就以点 $A$ 为原点，$AD$ 所在直线为 $x$ 轴，建立平面直角坐标系，如下图：

第四章 直线与点­

到目前为止，坐标系已经被建立起来，这一章节以及下面的章节都是关于坐标系内的各种变换的，我会详细分析直线、交点、作垂线、中点等常用的图形变化的解析方式。这一章就先看最基本的：直线的解析式与点坐标的确定。

4.1 函数图象的理解

函数可以看成是一种对应关系，而函数的图象我更愿意把它看作一个集合，正如维基百科所说：

函数 $f$ 平面上的图形是点对 $(x, f(x))$ 的集合。

这里，我们没有必要理解什么是 $f$ ，什么是 $f(x)$ ，什么是点对，什么是集合……这里有一个更好的方式理解函数图象。

众所周知，平面上有无限个点，而当我们建立平面直角坐标系之后，平面上的点就都有了坐标。每个坐标是由两个变量组成的，分别叫作横坐标和纵坐标。

那么如何画出一个函数的图象（比如 $y=2x+1$）呢？这里有一个最最最最最简单粗暴的方法。

把平面内所有的点找出来——我知道这不可能，我们可以先从简单的开始，把那些坐标为整数的点找出来，尽管如此点也是无限的，没有关系，打开GeoGebra，它总有一个显示范围，只要你不去拖动绘图区，你就可以自欺欺人地以为你自己点完了。把每个点的坐标找出来，就像下面这样：

现在，你就可以挨个试一下这些点是否在 $y=2x+1$ 的图象上了，只需要让 $x$ 为点的横坐标， $y$ 为纵坐标，即点的坐标为 $(x,y)$ ，代入上面的式子（即 $y=2x+1$ ），如果上面的式子成立，就把这个点做个标记，比如换一个颜色。

在软件中，为了更加清晰，我们还可以把其他的点隐藏：

我们可以点得更密一些，来得到更多的点：

一直这样下去，我们最终会得到一堆密密麻麻的点，点的数量是无限的。尽管点没有大小，但这些无限的点可以组成一些图形，比如上面的那些点就可以组成一条直线，也就是 $y=2x+1$ 的图象。

像这样的一次函数，图象是由在一条直线上的无数个点组成的，任何一个平面直角坐标系上的点 $(x,y)$ ，如果满足 $y=2x+1$ ，它就在 $y=2x+1$ 的图象上。反过来，如果直线 $y=2x+1$ 上的某一个点为 $(x,y)$ ，那么一定满足 $y=2x+1$ 。

推广到所有一次函数，就是：

$y=k_1x+b_1 \Leftrightarrow (x, y)$ 在 $y=k_1x+b_1$ 的图象上

4.2 直线和线段

4.2.1 一般方法

两点确定一条直线，这个一定不需要我说大家都知道，早在2019年11月，我就在刚接触解析几何的背景下写下了这篇文章：https://www.cnblogs.com/dong628/p/11920627.html

这篇文章介绍了如何使用计算机，通过两个点坐标计算出两点确定的直线的解析式。虽然当时我写这个费了好长时间，但它本质上就是一个二元函数的一般解法。

具体来讲，大概是这样的：

首先，设一次函数解析式为 $y=kx+b, k\neq0$ ，如果这个函数过两个定点 $A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)$ ， $x_1,y_1,x_2, y_2$为常数。

根据上面 [4.1 函数图象的理解](#4.1 函数图象的理解) ，结合上面的条件，可以列出以下方程：

$\left\{\begin{matrix}y_1=kx_1+b\\ y_2=kx_2+b\end{matrix}\right.$

通过简单的消元，就可以得到一般解法：

$\left\{\begin{matrix}k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\\ b=y_1-x_1\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\end{matrix}\right.$

然后这个直线就确定了。如果是线段的话，就加一个取值范围：$x_1 \leq x \leq x_2$。

4.2.2 一些特殊的直线

当直线与坐标轴垂直时，这些直线就不再是一次函数了。就比如下面这两条：

众所周知，初中的函数可以看成是一个映射：在定义域（也就是“取值范围”）中，每个自变量都有唯一一个因变量与之对应，那么此时因变量就是自变量的函数。

图中直线 $y=2$ ，如果我们把 $y$ 看成因变量，那么在 $y=1$ 中，$y$ 貌似是没有与任何自变量一一对应的。然而当我们把它放到坐标轴，并且选横轴 $x$ 为自变量，那么也可以看成是任何一个实数 $x$ ，都有 $y=1$ 与之对应，这种函数叫做常函数。

而另一条直线 $x=1$ ，当把 $x$ 看作是自变量的时候，无数个因变量 $y$ 可以与 $x$ 对应，所以它不是一个函数，只能叫它直线了。

它们虽然都不是一次函数，但也可以根据上面 [4.1 函数图象的理解](#4.1 函数图象的理解) 的方法画出上面的图象，并且也可以像一次函数那样，列在求点坐标的方程中（这个在4.3中会介绍）。事实上中学阶段接触到的函数（一次函数、反比例函数、二次函数）都是可以用相同的方法求出交点坐标的，我这里提到它们也只是在合适的时机做一个补充罢了。

4.3 定点

众所周知，两条不平行的直线可以确定一个点，两个点也可以确定一条直线，这貌似是一个无底洞……但好在点不光可以通过两条直线确定，也可以通过点坐标确定；一条直线不光可以通过两点确定，也可以通过解析式确定。

这里再次提起定点，主要是归纳一下，通过两线确定一个定点的方法确定点。

这里就把这两个直线分别设为：$y=k_1x+b_1$ 和 $y=k_2x+b_2$ （其中 $k_1$ $k_2$ $b_1$ $b_2$ 都是确定的实数）。

4.3.1 一般式的推导

那么如何求两条直线 $y=k_1x+b_1$ 和 $y=k_2x+b_2$ 的交点坐标呢。

对于两条不平行的直线，平面中有无数多的点在一条直线上，也有无数多的点在另一条直线上。但只有一个点，会同时在两条直线上，这个点就是两条直线的交点，这也是交点最重要的性质之一。

我们不妨设这个要求的交点坐标为 $(x, y)$ 。

根据 [4.1 函数图象的理解](#4.1 函数图象的理解) 一章，$(x, y)$ 在直线 $y=k_1x+b_1$ 的图象上，于是可以得到 $y=k_1x+b_1$ 成立； $(x, y)$ 在直线 $y=k_2x+b_2$ 的图象上，于是可以得到 $y=k_2x+b_2$ 成立。

这样我们就得到了两个等式，可以列方程了：

$\left\{\begin{matrix}y=k_1x+b_1\\ y=k_2x+b_2\end{matrix}\right.$

再次通过简单的消元，得出一般式：

$\left\{\begin{matrix}x=\frac{b_1-b_2}{k_1-k_2}\\ y=k_1x+b_1\end{matrix}\right.$

这样，我们就得到了交点 $(x, y)$ 的坐标。

第五章 90­° 与 45°

5.1 如何确定一条垂线

上面已经说过，垂直已经成为中考题目中最重要的位置条件之一，在实际解决问题时，也经常遇到这种情况：给定直线 $l_1$ 的函数解析式，已知过一定点 $A$ 的直线 $l_2$ 与其垂直，需要求出 $l_2$ 的函数解析式，以便后续运算。

面对这种问题，我们就需要掌握这个近乎所有中考考生都会的技能了：确定与已知直线垂直的直线的解析式。

5.1.1 何为斜率

如果你在这里使用 $Ctrl-F$ 搜索本篇，你会发现上面的内容中甚至没有出现“斜率”这个词，这个被数学老师反复提起的词语，竟然在上面没有出现一次。不过，当我又翻出我八年级上册数学书时，我又惊奇地发现，教科书上根本没有提到这个概念。曾经刚学一次函数的我，天真地认为斜率就是 “$k$”，直到我看到了 Wikipedia 上的定义：

斜率用来量度斜坡的斜度。数学上，直线的斜率在任一处皆相等，是直线倾斜程度的量度。

当然，如果一次函数的解析式是 $y=kx+b$ ，那么它的斜率等于 $k$ ，但即使忽略那些其他领域诸如土木工程和地理的定义，斜率的意义绝不只是一次函数的一个系数。

斜率，按照我的理解，“斜”即倾斜，“率”即比率，所以说，斜率是一个比值，而且它是与倾斜有关的。在一次函数中，我一般这样理解“斜率”：自变量单位变化 所导致 因变量变化量的大小，就比如 $y=3x+4$ 这个函数，$x$ 每增加 $1$ （这里的 $1$ 就是单位长度），$y$ 就会增加 $3$ 。于是，这个函数的斜率就是 $3$ 。

其实，上面的过程就相当于这个公式：

$K= \frac { \Delta y} { \Delta x}$ ，其中的 $\Delta$ 表示变量的变化 （应该很好理解吧）

直线的斜率是处处相等的，所以如果让自变量从任意一个 $x_1$ 变为 $x_2$ ，变化量 $\Delta x = x_2-x_1$ ，并且因变量 $y_1$ 变为了 $y_2$ ，那么 $\Delta y=y_2-y_1$ ，就可以得到 $\large K=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ 。坐标系内任意两个点，都可以看作是过这两个点的直线的自变量的变化，所以两点确定一条直线的公式，和这个长得一模一样，也可以通过这个方式推导。

再来思考一个最重要的问题：两条直线的斜率相等，它们就相互平行，这是为什么呢？

这里直接给出结论是因为这个非常符合人的直觉，但证明它就需要用到上面关于斜率的知识点了。

上图中有两条直线 $l_1$ 和 $l_2$ ，已知它们的斜率相等，我们可以在上面找四个点，分别是 $A$ $B$ $C$ $D$ 。然后可以过 $A$ 点 $C$ 点作直线与 $x$轴 平行，过 $B$ 点 $D$ 点作直线于 $y$轴 平行。这样就会有两个交点 $E$ 和 $F$。

我们可以将上图中的点 $A$ 到点 $B$ 看作是 点 $A$ 位置的一次变化，点 $C$ 到点 $D$ 看作是 点 $C$ 位置的一次变化。因为直线 $CF$ ，$AE$ ，$DF$ ， $BE$ 都与坐标轴平行，所以可以把线段 $CF$ ，$AE$ ，$DF$ ， $BE$ 看作是横坐标与纵坐标的变化量。

再根据 $\large K=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ ，因为两条直线的斜率（这里分别称作 $K_1$ 和 $K_2$ ）相等，所以有 $\frac{DF}{CF}=K_2=K_1=\frac{BE}{AE}$ ，再加上相当显而易见的 两条平行于坐标轴的直线相互垂直，即 $\angle DFC=\angle BEA=90^\circ$ ，我们发现 $\triangle DFC$ 和 $\triangle BEA$ 相似了。也就是说图中的 $\angle \gamma$ 和 $\angle \beta$ 相等了。

最后，利用平行线的性质，得出 $\angle \beta = \angle \alpha = \angle \gamma$ ，两条直线平行。

如果反过来，已知平行证明斜率相等，也是一样的道理，这里就不再赘述了。

5.1.2 互相垂直直线的斜率关系

有了上面的结论，可以解决第一个问题，为什么标题是“斜率”关系，也就是 $y=kx+b$ 中的 $k$ 而不是常数 $b$ 。

当两条直线与同一条直线垂直的时候，它们一定相互平行。根据上面的结论，它们的斜率是相等的。

也就是说，如果要过一条直线作许多（无限）条垂线，那么它们的斜率一定是相同的。换种说法，垂直于一条直线的另一条直线的斜率是唯一的。

众所周知，作一条垂线需要的是 与之垂直的已知直线 和 这条垂线要过的一个点，而这条已知直线确定的，正是这条所作垂线的斜率。接下来的问题就很简单了：这条垂线的斜率和已知直线的关系是什么？

为了探究这个，我们可以构建下面这个模型：

途中两条黑色的直线是已知垂直的，求它们斜率的关系。设它们的交点为 $H$ ，过这个点 $H$ 作 $x$ 轴和 $y$ 轴的平行线，也就是图中两条粉色的，它们也相互垂直。

然后，在平面内过任意两点（点 $H$ 除外）作 $x$ 轴与 $y$ 轴的垂线，得到如图的四个交点 $I J K L$ 。根据平行线的性质，很容易得到两个直角，也就是图中的 $\angle HLJ$ 与 $\angle HKI$ 。

根据已知条件，$\angle IHJ$ 是直角，两条与坐标轴平行的直线 $HK$ 与 $HL$ 互相垂直，所以 $\angle KHL$ 为直角。于是，图中的 $\angle \alpha$ 和相邻着的 $\angle \eta$ 互补，$\angle \beta$ 也与 $\angle \eta$ 互补了，得出 $\angle \alpha = \angle \beta$ 。

根据上面的结论，可以发现，$\triangle IHK$ 和 $\triangle JHL$ 相似了。可以得出 $\frac{IK}{JL}=\frac{HK}{HL}$ ，根据 比例的性质 $\large \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff \frac{a}{c} = \frac{b}{d}$ ，$\frac{JL}{HL} = \frac{IK}{HK}$ 。显然，等式左边是一条直线的斜率，但右边就不是了。另一条直线的斜率应该是 $\large - \frac{HK}{IK}$ ，是等式右边的 相反数 的 倒数，它们的乘积为 $-1$ 。也就是说，$-\frac{HK}{IK}*\frac{IK}{HK} = -1$ ，即当 $-\frac{HK}{IK}*\frac{JK}{HL} = -1$ 时，两条直线的斜率乘积为 $-1$ 。

5.1.3 确定另一个参数

根据上面的推论，如果已知直线的斜率为 $k$ ，那么与它垂直的直线斜率一定是 $-\frac{1}{k}$ 。如果要作垂线，那么肯定需要有一个定点，使作出的垂线过这个定点。已知直线确定了垂线的斜率 $k$ ，还剩下的一个未知数 $b$ 需要通过这个过垂线的定点确定。

确定这个未知数的方法，在上面的 [4.2 直线和线段](#4.2 直线和线段) 已经说明过了，这里不再赘述。

不过，既然两点确定一条直线有通用的方法，那么为什么不借助这个直接推导一个公式，来计算 过一点与已知直线垂直的直线的解析式 呢。

这里我们就设这个点的坐标是 $(m,n)$ ，已知的直线解析式为 $y=kx+b$ ，为了方便表述，需要求出的直线解析式设为 $y=-\frac{1}{k}x+c$ 。这其中，$m, n, k, b$ 都是已知量，需要求出的是 $c$ 这个未知量。

因为 $y=-\frac{1}{k}x+c$ 过 $(m,n)$ ，所以等式 $n=-\frac{m}{k}+c$ 成立，移项，就可以得到 $c=n+\frac{m}{k}$ 。

这样一来，这条直线的解析式就可以用已知量表示了，结果是 $y=-\frac{1}{k}x+n+\frac{m}{k}$ 。

为了验证这个结论，可以把点坐标和两条直线的解析式输入到 Geogebra 中，看看这个点是否过一条直线，并且两条直线互相垂直。

5.1.4 结论

两条直线互相垂直，它们斜率的乘积为 $-1$ ，反之亦然。

若 $A(m,n)$ ， $l:y=kx+b$ ，则过点 $A$ ，且与 $l$ 垂直的直线的解析式为 $y=-\frac{1}{k}x+n+\frac{m}{k}$ 。

5.2 从90­° 到 45°

这一小节主要阐述如何作出一个 $45^\circ$ 角，解决的是类似下面这样的题：

如图，在矩形 $ABCD$ 中，$AB=14$ ，$E$ 是 $BC$ 边上一点，且 $BE=6$ ，连接 $AE$. 若 $\angle CAE=45^\circ$ ，则 $CE$ 的长为：

如果以点 $A$ 为原点，$AD$ 所在直线为 $x$ 轴建系，那么 $B$ 和 $E$ 的坐标都能求出来，$AE$ 的解析式也可以确定，但我们要求的是点 $C$ 的坐标，需要知道的是点 $C$ 所在线段—— $AC$ 的解析式，而题目中关于 $AC$ 唯一的信息就是 它与 $AE$ 的夹角为 $45^\circ$ 。所以，这章的主要内容就是如何通过 $AE$ 的解析式来求出 $AC$ 的解析式。

5.2.1 一点思路

首先，思考一个问题，过一定点可以确定几条直线，使它与已知的直线的夹角为 $45^\circ$ ？

显然，有两条，就像上图一样，这两条黑色的直线还互相垂直，根据上面垂线的斜率关系，知道其中一条的斜率，另一条的斜率也就很好求出了。所以，在下文中我们只关注它们其中的一条。

再思考一个问题：与一条直线的夹角为 $45^\circ$ 的直线，它们的斜率相等吗？

斜率相等这个答案非常符合人的直觉，事实上也很容易证明。任取两条符合要求的直线，它们与已知直线的夹角都是 $45^\circ$ ，可以推出它们平行（当然也有可能相互垂直，但这里分类讨论，忽略这种情况），斜率当然相等。

和上面“垂线的斜率关系”一样，我们有理由相信，两条夹角为 $45^\circ$ 的直线，它们的斜率存在某种关系。也正是因为只和斜率有关，所以为了方便计算，这里把已知直线设为一个正比例函数 $l_1:y=kx$ ，需要求的直线 $l_2$ 和 $l_1$ 的交点设为原点。

接下来就是最重要的问题了，如何去构建一个 $45^\circ$ 角。也就是说，我们先要通过某种方法在坐标系中画出这个角，再计算出它的斜率，就像作垂线时利用那一对相似三角形一样。

这就是这小节最重要的部分了，我的思路是，先作出垂线，然后再做直角的角平分线。那么如何作角平分线呢，这里我利用的是一个定理——等腰三角形底边上的中线平分顶角。具体地，任何一个等腰三角形，底边上的中线和顶角的角平分线是重合的。所以我们可以把 $90^\circ$ 角作为顶角，通过构建一个等腰三角形，画出底边上的中线，就是它的角平分线

5.2.2 构建 45° 角

如上图所示，橘红色的直线是已知的 $l_1:y=kx$ ，首先作出它的垂线，也就是那条黑色的直线，这样一来，$\angle BAC$ 成为了直角，只需要把它平分，就能得到 $45^\circ$ 角。接下来，就是在这两条相互垂直的直线上截取两个点，使 $AB=AC$ ，图中那个以点 $A$ 为圆心的圆，就是用来找到这两个点 $B$ 和 $C$ 的。由于我们只是需要一条角平分线，所以 $AB$ 的长度可以是任意值。

接下来，连接点 $B$ 和点 $C$ ，这样一来，$\triangle ABC$ 就成了以 $A$ 为顶角的等腰三角形。 $BC$ 边上的中线，就是 $\angle BAC$ 的平分线，和 $l_1$ 的夹角为 $\angle BAD=\frac{\angle BAC}{2}=\frac{90^\circ}{2}=45^\circ$ 。

求出 $BC$ 边上中线，也就是最终的答案，也并不难。一个点 $A$ 已经固定，只需要知道 $D$ 点的坐标即可。而且我们已知 $D$ 为 $BC$ 的中点，那么可以利用中点公式，它大概长这个样子：

在直角坐标系中，若两端点的坐标分别为 $(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$ ，则中点的坐标为：$\Large \left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)$ 。

这个公式其实很容易理解，利用相似三角形即可证明，这里不作证明了。

通过上面这一整套方法，我们可以在坐标系中作出 $45^\circ$ 角了。但这个方法并不是万能的，比如现在要求过直线外一点作一条直线，与已知直线的夹角为 $45^\circ$ ，就不能用上面这个方法解决（其实可以先随便找直线上一点把要求的直线的斜率算出来的，但过于麻烦），所以下面的任务就是要利用上面的操作方法，探究两条夹角为 $45^\circ$ 的直线的斜率关系。

5.2.3 夹角为 45° 的两条直线的斜率关系

和上面一样，还是设 $l_1:y=kx$ ，那么上图中，与 $l_1$ 垂直的直线 $l_3$ 的解析式就应该是 $y=-\frac{1}{k}x$ 。以现在我们需要解决的问题就是：如何表示两个交点 $B$ 和 $C$ 的坐标？

回顾上面的画出 $45^\circ$ 的过程，圆的半径可以是任意值，所以即使 $k$ 被确定下来， $B$ 和 $C$ 仍然不是定点。但最开始的推理告诉我们，无论半径怎么变，最后求出的斜率都是一个定值。这样一来，我们有理由相信，如果我们通过一些含参数的代数式来表示 $B$ 和 $C$ 的坐标，那么最终算出来的斜率，或者说是点 $D$ 的坐标，是不含这个参数的。

一个比较明显的方法是设圆的半径为 $r$ ，于是 $AB$ 和 $AC$ 的长度就成为了 $r$ 。那么怎么求出两个点的坐标呢？这里可以使用勾股定理和相似等等方法求出，但还是太麻烦了，一堆根号确实不好算。

另一个较为容易想到的方法是：直接设点 $B$ 的坐标，这个听起来似乎更加可行了。点 $B$ 是圆和 $l_1:y=kx$ 的交点，也就意味着点 $B$ 是一定在 $y=kx$ 上的。我们没有必要设出两个参数，分别是它的横坐标和纵坐标，因为这样并不能保证这个点在直线 $l_1$ 上。此时只需要设出点 $B$ 的其中一个坐标，另一个坐标就可以算出来。为了方便计算，这里当然是要设横坐标。

那么，设 $B$ 的横坐标为 $m$ ，则 $B$ 的坐标就是 $B(m, km)$ 。

接下来的问题就是如何去表示 $C$ 点的坐标。我们当然不可能去再设一个参数，一是因为参数一旦多了就很难计算；另一方面，我想应该不会有人到现在都没有注意到， $B$ 和 $C$ 的坐标存在某种关系吗（当然虽然没有证明，但这种猜想一定会有吧）。点 $B$ 和点 $C$ 有什么关系呢？为了探究这个，我们可以构建下图中这个模型。

在上一幅图的基础上，过 $B$ 作 $BJ\perp x$轴 于点 $J$ ，过 $C$ 作 $CK\perp x$轴 于点 $K$。

这样，图中就出现了两个直角三角形： $Rt\triangle BJA$ 和 $Rt\triangle AKC$ 。因为 $AC$ 和 $BA$ 都是圆的半径，所以 $AC=BA$ 。因为 $\angle BAC$ 是直角，所以 $\angle BAJ+\angle CAK=90^\circ$ 。因为 $Rt\triangle AKC$ 是直角三角形，所以 $\angle ACK+\angle CAK=90^\circ$ 。结合上面两条，得出 $\angle BAJ = \angle ACK$ 。加上 $\angle BJA=\angle AKC=90^\circ$ 的条件，这两个直角三角形 $Rt\triangle BJA$ 和 $Rt\triangle AKC$ 全等了。得出 $CK=AJ$ ，$BJ=AK$ 。

这样一来，求 $C$ 点的坐标也就非常容易了。图中 $J$ 和 $B$ 横坐标是相同的（因为过这两点的直线平行于 $y$ 轴），所以 $J(m,0)$ 。因为图中的 $J$ 是在 $x$ 轴的正半轴上的，所以 $KC=AJ=m$ 。同理，$AK=BJ=km$ 。结合上图，$C$ 的坐标就是 $(km,-m)$ 。

聪明的你一定在看上面这段时一脸疑惑，因为这幅图不能代表所有情况，如果 $J$ 在负半轴上呢？

事实上，我们完全可以在构造的时候就把 $J$ 点设置在正半轴上，当已知直线斜率小于0时，可以使用上图中的粉色三角形而不是棕色三角形。但其实，如果 $J$ 在负半轴，$AJ$ 虽然不等于 $m$ ，但 $C$ 的坐标还是 $(km,-m)$ 。所以，这点是不需要顾虑的（我提出这个是因为我在一开始推理的时候就在这里想了好久，当时我还不是以原点为交点推理的，所以算起来确实费劲一些）。

这样一来，根据中点公式，$BC$ 的中点 $D$ 的坐标就可以很轻易地求出了，横坐标为 $m+km$ ，纵坐标为 $km-m$ ，整理一下，也就是 $D(km+m,km-m)$。

我们要求的直线 $AD$ ，是一个正比例函数，所以只需要知道一个点就可以求出它的解析式。实际上，看图也可以看出来，直线 $AD$ 的解析式就是 $D$ 的纵坐标与 $D$ 的横坐标的比值（参照上面 [5.1.1 何为斜率](5.1.1 何为斜率) ）。所以 $AD:y=\frac{km-m}{km+m}x$ ， $x$ 的系数（也就是斜率“$k$”）是 $\frac{km-m}{km+m}$ ，化简一下，就是 $\frac{k-1}{k+1}$ ，$AD:y=\frac{k-1}{k+1}x$ 。再次印证了直线的斜率和图中 $B$ 的坐标没有关系。

当然，还没有到得出最终结论的时候，还记得最开始时提到过，与一条已知直线夹角成 $45^\circ$ 的直线有两条，并且还互相垂直。所以根据两条互相垂直直线的斜率关系，我们可以很容易地计算出另一条直线的斜率，也就是 $\frac{1+k}{1-k}$ （斜率乘积为 $-1$）。

这里还有一个需要注意的点，当已知直线的斜率 $\left| k \right| =1$ 时，另一条直线的斜率会因分母为0而无意义，其实稍微思考一下，此时另一条直线就是上面 4.2.2 章提到的两种直线，不属于一次函数。（感谢ydy于2021.5.23提出这个bug）

在上一节 [如何确定一条垂线](#1. 如何确定一条垂线) 中，我们还进行了一次函数的常数项 $b$ 与 所过的点的关系 的探究，这里如果想要得出和上一节最后类似的公式，可以使用类似的方法推理，这里鉴于内容过于重复，且没有太多实用性，就不再推导了。

5.2.4 结论

斜率为 $k$，且 $\left| k \right| \neq1$的一条直线，两条与它夹角为 $45^\circ$ 的直线的斜率 分别为 $k_1=\frac{k-1}{k+1}$ 和 $k_2=\frac{1+k}{1-k}$ 。

第六章 线段长度类问题

在上面的章节中，我们主要探究的是一些理论问题，比如坐标系的定义，以及一些作图操作在坐标系中的实现。而下面的章节会通过一些例题，来说明解决具体问题的方法。

本章解决的，就是那些求线段长度的问题。

6.1 计算两点间的距离

6.1.1 基本公式

众所周知，线段的长度就是线段两个端点的距离。而已知两个端点的坐标，求线段的长度也就是两点的距离是非常简单的，计算这个只需要用到最基本的勾股定理。

拿上图举例，如果我们要求 $B(10,12)$ 与 $A(4,2)$ 的距离，即 $AB$ 的长度，可以按照上面的方法构图：过 $B$ 作 $BF \parallel y轴$ ，过 $A$ 作 $AF\parallel x轴$ ， $AF$ 与 $BF$ 交于 $F$ 。这样，$F$ 的横坐标 等于 $B$ 的横坐标，$F$ 的纵坐标 等于 $B$ 的纵坐标，所以 $F$ 的坐标为 $(10,2)$ 。

接下来，两条平行于坐标轴的线段 $FB$ 与 $FA$ 的长度可以很容易计算得出。 又因为 $BF \perp AF$ （因为它们分别与两坐标轴平行），所以在 $Rt\triangle AFB$ 中， $AB^2=BF^2+AF^2$ ，即 $AB = \sqrt{BF^2+AF^2}$ ，这样， $AB$ 的长度就被计算出来了，在上图中为 $2\sqrt{34}$ 。

我们当然不想要每次计算都构造出这样一个直角三角形来，所以就有了两点间的距离公式。我们在图中可以很容易发现，$AF$ 的长度就是 $A$ 与 $B$ 的水平距离，也就是它们横坐标的差的绝对值（因为长度只能为非负数，而差值可能为长度的相反数）。同样的，$BF$ 的长就是它们纵坐标的差的绝对值。

设 $A$ 的坐标为 $(x_1,y_1)$ ，$B$ 的坐标为 $(x_2,y_2)$ 。那么 $AF=\left|x_1-x_2\right|$ ，$BF=\left|y_1-y_2 \right|$ ，$AB$ 就等于 $\sqrt{\left|x_1-x_2\right|^2+\left|y_1-y_2\right|^2}$ 。到这里我们发现，其实在这个式子中，取绝对值这个操作有些多余，因为一个实数的平方不可能是负数，一个负数的平方，就等于它的绝对值的平方。也就是说，最终 $AB$ 的长度可以化简成为这个样子：

$\large\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$

这个公式将会成为这章最重要的公式，因为它是求解这类问题的基础。

6.2.2 小技巧

有些时候我们在使用上面这个公式计算时，会遇到一些很难算的数字，就比如已知 $A(4,2)$ 和 $B(40,50)$ ，这个例子还算不上极端，但如果要按照一般的方法算出 $\sqrt{36^2+48^2}$ ，还是需要一些时间的，那么怎么办呢？

从代数的角度讲，我们可以再推理出一个 $\sqrt{a^2+b^2}$ 的简便运算方法。我们设 $a=kx$ ， $b=ky$ ，那么原式 $\sqrt{a^2+b^2}$ 就等于 $\sqrt{(kx)^2+(ky)^2} = \sqrt{k^2x^2+k^2y^2}$ ，根号中的式子可以用乘法分配率进一步化简，也就是 $\sqrt{k^2(x^2+y^2)}$ 。根据根式的性质， $\sqrt{k^2(x^2+y^2)}=\sqrt{k^2}\cdot\sqrt{x^2+y^2}=k\sqrt{x^2+y^2}$ （因为 $k>0$ 所以有第二步化简）。这样，我们其实是把这两个需要求平方再求和再开根号的数变小了。如果我们可以找到 $a$ 和 $b$ 的最大公约数作为 $k$ 的话，计算会简便许多。

从几何角度来说的话，可以参考上图。 $Rt \triangle FCE$ 的两条直角边的长度分别是 $Rt \triangle ACB$ 两条直角边的 $\frac{1}{2}$ ，并且它们的夹角都是直角，所以如图所示，$Rt \triangle FCE \sim Rt \triangle ACB$ 。这样，当我们要求 $AB$ 的长时，我们可以先使用勾股定理 $FE=\sqrt{CF^2+CE^2}$ 求出 $FE$ 的长度，再将它乘上相似比，相当于是代数方法中的 $k$ 。

通过这个方法，在计算 $\sqrt{36^2+48^2}$ 时，我们发现 $36$ 和 $48$ 的最大公约数是 $12$ ，$36=12*3$ ， $48=12*4$ ，那么 $\sqrt{36^2+48^2}=12\sqrt{3^2+4^2}$ .这样一来，计算量就大大减少了。

6.2 从点到线、再从线到点

其实看到这里，求解这类问题的方式已经很明了了，无非就是运用上面的一些方法，求出线段两个端点的坐标，最终运用两点间的距离公式求得答案。就像标题所说，“从点到线、再从线到点”。由于这类问题的图形大多都是确定的，所以可以一点一点求出来任何一个点的坐标。只通过文字描述这种简单粗暴的方法并不形象，下面我们就来继续完成上面的两道例题。

6.2.1 山西省2020中考15题

首先，是 [山西省2020中考15题](#2.1 山西省2020中考15题) 。在上面的章节中，我们已经分析了这个图形的定义，还为这个图形建立了平面直角坐标系，在这里我们将解决这个问题。简单回顾一下，题目中定义 $\triangle ABC$ 是以 $AB$ 为斜边的直角三角形，$AB=4$ ，$AC = 3$ 。$CD$ 是 斜边 $AB$ 上的垂线，$AE$ 是 $BC$ 上的中线，与 $CD$ 交于 $F$ ，求 $DF$ 的长。

如上图，我们在第三章中，为这个图形建立的一个平面直角坐标系，就是 以 $C$ 为原点，$CA$ 所在直线为 $x$ 轴的。而在计算这类型题的答案时，思考的方向应该是和一开始时，分析这个图形时一样的。所以接下来我会参考 [确定一个图形](#2.1 山西省2020中考15题) 一章的思路，顺着图形确定的顺序，一步步计算出答案。

建立坐标系后，$A、B、C$ 三个点的坐标变得一目了然。因为 $C$ 是原点，它的坐标即是 $(0,0)$ 。根据题目中 $AC$ 和 $BC$ 的长度，以及点 $A$ 点 $B$ 在坐标轴的正半轴上，可以得出 $A(3,0)$ ， $B(0,4)$ 。上面第二段的最后一句是，"……并且连接 $AB$ ，然后就形成了 $\triangle ACB$ "，当我们确定这些点之后，还需要根据参考图形把两个点连起来，才能确定图中的直线。在坐标系内，也就是算出线段 $AB$ 的解析式。这个非常容易，根据 [第四章的公式](#4.2.1 一般方法)就 可以轻松算出，$AB:y=-\frac{4}{3}x+4$ 。

顺着上面 2.1 的思路，在确定这个三角形后，下一步要确定的就是 $CD$ 这条垂线。上面第三段中写到，“于是作这个图的下一步就是：过点 $C$ 作 $AB$ 的垂线，垂足为 $D$ ” ，于是我们想到在第五章中，[求垂线解析式的方法](#5.1.4 结论) 。把 $C$ 的坐标 $(0,0)$ 和 $AB$ 的解析式（$y=-\frac{4}{3}x+4$ ）代入 $y=-\frac{1}{k}x+n+\frac{m}{k}$这个上面推导出的公式，就可以求出 $CD$ 的解析式，也就是 $CD:y=\frac{3}{4}x$ 。这句话中也提到，“垂足为 $D$ ”，也就是说我们也要把点 $D$ 的坐标求出来。因为 $D$ 是 $CD$ 和 $AB$ 的交点，并且 $CD$ 和 $AB$ 解析式都是已知的，所以可以使用[两直线交点的公式](4.3.1 一般式的推导)，，也就是$\left\{\begin{matrix}x=\frac{b_1-b_2}{k_1-k_2}\\ y=k_1x+b_1\end{matrix}\right.$ ，计算得到 $D$ 的坐标为 $(\frac{48}{25}, \frac{36}{25})$ 。

紧接着，就是要确定点 $E$ 的坐标。条件中说，“点 $E$ 为 $BC$ 的中点”。我们可以利用中点公式，来实现第二章所说的 “找到 $BC$ 的中点”。将 $B$ 点 和 $C$ 点 代入中点公式 $\Large \left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)$ ，这样，我们可以求出点 $E$ 的坐标，也就是 $(0,2)$ 。之后，我们要“连接 $AE$ ”，也就是求出 $AE$ 的解析式，同样代入 $A$ 和 $E$ 的坐标，得到 $AE:y=-\frac{2}{3}x+2$ 。

“所以我们最后一步就是找到 $AE$ 和 $CD$ 的交点，命名为 $F$ ” 2.1第四段最后说到。找到这个交点，也就是算出 $F$ 的坐标。由于 $AE$ 和 $CD$ 的解析式都是确定且已知的，所以我们可以再次使用[两直线交点的公式](4.3.1 一般式的推导) 。将 $AE:y=-\frac{2}{3}x+2$ 与 $CD:y=\frac{3}{4}x$ 代入，可以得到它们的交点 $F$ 的坐标，也就是 $F(\frac{24}{17},\frac{18}{17})$ 。

至此，这幅图中主要的量（包括点坐标还有线段解析式）都已经被求出，但解题还没有结束。在这之后，我们要做的就是利用上面介绍的 两点间距离公式，来求出 $DF$ 两个定点的距离（也就是线段 $DF$ 的长）。因为点 $D$ 和 $F$ 的坐标分别为 $(\frac{48}{25}, \frac{36}{25})$ 和 $(\frac{24}{17},\frac{18}{17})$ 。代入两点间距离公式 $\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$ ，可以算出他们的距离为 $\frac{54}{85}$ 。

也许这时的你能回想起来，在上面的第三章我们为这个图形建立了两个坐标系，上面只是其中的一种建系方法。如果使用另一种方法的话，需要利用射影定理算出 $AD$ 、 $BD$ 、 $CD$ 的长，然后用和上面相同的思路和解题顺序求解，这里由于篇幅限制就不再赘述。

6.2.2 2020～2021学年九上期末考试 23题

接下来我们将目光转到下一道例题，也就是[2020～2021学年九上期末考试 23题](#2.2 2020～2021学年九上期末考试 23题) 上。由于这道题中，只有 数学探究一 和 数学探究二 两个子问题是要求线段的长度的，所以这章我们只研究这两题，但“数学素材”其实是下面所有题的前提，所以其中的条件同样重要。

数学探究一

在上文中，坐标系已经被建立，如下图：以点 $B$ 为原点， $BC$ 所在直线为 $x$ 轴（，$BA$ 所在直线为 $y$ 轴），建立平面直角坐标系。

[2.2.1](#2.2.1 数学素材 & 数学猜想) 的第二段指出，正方形 $ABCD$ 是确定的，尽管题目中只给出一条边的长度（ $AB=6$ ）就能确定正方形有些令人匪夷所思，但这个坐标系是根据这个正方形定义的，所以这个正方形在坐标系中是确定的。因为点 $B$ 是原点，所以坐标 $(0,0)$ 。和上一个例子一样，坐标轴上两个点 $A$ 和 $C$ 都可以通过边长和坐标系的定义确定，分别为 $(0,6)$ 和 $(6,0)$ 。而根据正方形邻边相互垂直的性质，可以轻松得出点 $D$ 的坐标为 $(6,6)$ 。

接下来看 [2.2.2 数学探究一](#2.2.2 数学探究一) 。首先是 “正方形胶片的顶点 $E$ 在 $AC$ 上，$EF$ 过点 $B$ ” ，这句包含的信息量还是比较大的。首先，正方形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ 被提起，并且图中也画出了这条线段，所以题目中其实隐含了 “连接 $AC$ ” 这一步操作，所以我们要在坐标系中把 $AC$ 连接起来，也就是求出直线解析式。将 $A$ 和 $C$ 的坐标代入公式，可以得出 $AC:y=-x+6$ 。“ $EF$ 过点 $B$ ” 的作用主要是，一旦我们确定了 $E$ 或 $F$ ，就可以借助点 $B$ 坐标确定直线 $EF$ 了。

“ $AE=\frac{3\sqrt{2}}{2}cm$ ” 这句和上面的 “ $E$ 在 $AC$ 上” 共同确定了 $E$ 的位置。在线段 $AC$ 上，并且与 $A$ 的距离（即 $AE$ ）为 $\frac{3\sqrt{2}}{2}cm$ 的点 $E$ 只有一个，但它的坐标如何计算呢？如果 $AC$ 平行于某一条坐标轴，那么 $A$ 和 $E$ 的某一坐标就相等了，那样只需要简单的加减就可以计算出坐标。为了计算这个问题，我们可以构建下面这个模型：

过 $E$ 作 $EI\perp AD$ 于 $I$ ，设 $AI=a$ ，那么 $I$ 的坐标可以求出，$E$ 的坐标也可以求出，为 $(a,6-a)$，那么 $IE$ 的长最终求出也等于 $a$ ，那么根据两点间距离公式，得出 $AE=\sqrt{2}a$ 。我们把 $AE=\frac{3\sqrt{2}}{2}cm$ 代入进去，可以得出 $a=\frac{3}{2}$ ，这样即可算出 $E(a,6-a)$ 的坐标，为 $(\frac{3}{2},\frac{9}{2})$ 。其实如果你理解了 [5.1.1 何为斜率](#5.1.1 何为斜率)，这个计算起来是非常快的。

点 $E$ 确定了，上面所说的直线 $EF$ 也可以确定了。将 $E$ 和直线上一点 $B$ 代入公式，可以得出 $EF:y=3x$ 。

接下来题目给出的条件是 “对角线 $FH$ 过点 $C$ ” ，我们在 [2.2.2](2.2.2 数学探究一) 分析过，因为 $FH$ 是正方形的对角线，所以 $\angle EFH$ 的值一直是 $45^\circ$ 。$\angle EFH$ 的一条边 $EF$ 是确定的，另一边 $FH$ 中， $F$ 目前并未确定，$H$ 还未定义，但我们知道另一边过一定点 $C(6,0)$ 。所以，计算另一条边 $FH$ 的 解析式，就是一个 “过直线外一点作与已知直线夹角为 $45^\circ$ ” 的问题。可以使用 [5.2 从90­° 到 45°](#5.2 从90­° 到 45°) 一节的 $45^\circ$ 公式计算 $FH$ 的解析式。

将 $EF:y=3x$ 代入公式，得到 $FH$ 的斜率为 $k_1=\frac{1}{2}$ 或 $k_2=-2$ 。根据图形和正方形胶片 $EFGH$ 的摆放位置，可以把 $k_2=-2 (<0)$ 舍去。再根据直线上的一个定点 $C(6,0)$ 计算出直线 $FH$ 解析式中的常数项，最终得到 $FH:y=\frac{1}{2}x-3$ 。

题目要求的是 正方形$EFGH$ 的边长，也就是 $EF$ 的长，我们先求出 $F$ 的坐标。有了 $FH$ ，我们就可以求它和另一条求出解析式的直线 $EF$ 的交点 $F$ 了，得出 $F(-\frac{6}{5},-\frac{18}{5})$ 。之后再把 $E(\frac{3}{2},\frac{9}{2})$ 和 $F(-\frac{6}{5},-\frac{18}{5})$ 代入两点间距离公式，得到最终答案。

数学探究二

其实这一问和上面的 “数学探究一” 是大同小异，运用的方法其实都差不多。

我们在 3.4.2 建立的平面直角坐标系是这样子的：如图，以点 $A$ 为原点，$AD$ 所在直线为 $x$ 轴，建立平面直角坐标系。

和上面一样，我们可以很轻松地确定 $A(0,0) /B(0,-6)/C(6,-6)/D(6,0)$ 。

$\angle HAF$ 是正方形的一个角，所以 $\angle HAF=90^\circ$ ，并且因为 $AG$ 是正方形的一条对角线，所以 $\angle GAF=45^\circ$ 。点 $N$ 是确定的，这个在第二章有过说明，题目给出的条件是 “ $DN=2\sqrt{2} cm$ ” ，又是一个线段上与一段点的距离为定值的点，在这里可以用上面的方法计算，得出 $N(4,-2)$ ，这样就可以用距离公式求出 $AN$ 的距离了。

在直线 $AG$ 确定时，与它夹角为 $45^\circ$ 的直线 $AF$ 也可以通过 $45^\circ$ 角公式求出（因为 $AF$ 过定点 $A$ ），也就是 $AF:y=-3x$ 。和 $BD$ 的交点 $M$ 可以求出，自然可以很轻易地求出 $BM$ 的长。这里因为和上面的求法太过相似，就不展示具体过程了，毕竟思路是最重要的。

后记——一些总结

2021.1.22～2021.5.22

现在是 2021.5.22 周六上午9:30，我终于算是把这个坑填完了。

这篇文章的创建时间距离今天（5.22）刚好是四个月。还记得那天，我一如既往地上完上午的网课，就在前一天，我的数学作业被老师选为优秀作业，作业内容就是我们刚结束的期末考试的23题，也就是我贯穿这篇文章的一道主线题目。

也许老师当时觉得我的方法还比较新颖，就让我拍照把我的解题过程发到班群里，也就是上面的两张照片。在写这篇文章中的这道题时，我从来没有再回过头去看当时的我的具体解题步骤，现在再看到它，还惊奇地发现当时坐标系的定义和我这篇文章中出奇地一致，有点惊喜。

言归正传，这道题让我再次深刻感受到了解析几何的潜力，于是当天中午我创建了这个文件，名字叫做「DJL的建系指南」，并且写下了1000字的前言。那段一气呵成毫无拖泥带水的前言，就这样开启了一个让我为之奋斗四个月的大坑。

当时的我，怎么会想到这篇文章的规模会如此之大。一开始，我想着几天把它结束，寒假肯定可以发表的，还正好可以给我停更两个多月的博客一些新东西。但几天之后我意识到，我可能要写一个寒假，解析几何的内容太丰富了，有些超出我的想象。而在寒假的最后，我还想着开学之后尽快写完，但众所周知，DJL老拖延症了，于是它就一咕再咕，直接就鸽到了五月份。

不过，在咕咕咕的背后，是DJL对文章细节的执着。我几乎每天都在想该怎么写好这篇文章，如何使它在不失深度的前提下又通俗易懂，如何安排文章结构，如何用 GeoGebra 做出帮助他人理解的图形……虽然最后我并没有呈现出多好的作品吧，但我认为这些思考还是很有意义的。

一些成长

伴随着四个月里文章内容的充实，我个人的技能树也在以前所未有的速度被点亮。

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首先是数学方面。

我算是梳理了从初二第一次接触解析几何，到中考前所学的，关于一次函数的所有内容。初三下半学期开学后的数学课，我有不少是在走神中度过的。晚自习一旦没有作业，同学们大概率会看到DJL又在他的方格本上画着坐标轴……

记得一个朋友在看到我的一篇年度总结之后，和我说，如果一个人创作出了一些作品，那么他本人对于这篇作品有关的理解，绝对是比用文字传达出的这些内容高很多的。尽管文章的内容大部分都是初中学过的东西，我们学校的绝大多数初三生应该都能看懂，但我相信我自己的思考一定是比文字记录的东西深刻很多的。最近几次考试也印证了这点，虽然我没有怎么用解析法做题，但许多做题思路也体现出我在这个过程中养成的强大学科素养，具体原因后面会说。

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DJL很喜欢把这篇文章定义成一篇“总结”，他觉得他在撰写它的过程中学到了很多。

在过去的四个月里，我一直在思考，什么样的总结才算是一篇好的总结。于是我仔细规划了这篇文章的目录树，力求把各个条目清晰地列出来。不过DJL的野心远不止一篇总结，他的这篇文章从头到尾都是在为他人服务，他一直在想如何才能让屏幕前的你更好地理解他的想法，这对他的总结和表达能力是一个非常大的考验。

虽然这篇文章可能不会达到我的目的，因为我在表达方面还有很大的欠缺，但它很大程度上的磨炼了我的总结表达的能力。一个很形象的例子就是最近化学老师让我们做的化学小组总结任务，虽然我作为组长，讲述和领导的能力很大程度上制约了我们组的发展，但至少我在接下这个任务时，自己知道应该怎么做才能最终在同学面前做好汇报，这是我之前想都不敢想的。

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写“指南”，尤其是数学方面的东西，只有文字一定会非常抽象，无法理解，所以我在文章中插入了许多插图以及 生 动 形 象 的公式，它们的制作推动着我在实践中学习 Geogebra 。

这篇文章的制作中，大概有一半时间我是用在作图上面了。我在暑假就接触 GeoGebra 这个软件了，只是听说过这个软件功能非常强大，对于它的认识也只是用它做过几个图形而已。那时的我挺想学它的，奈何教程比较少，而且学下来也找不到什么用处。当时我还想，要是以后能有机会有需求使用它的话，一边用一边学，那该有多爽呀。事实证明，确实很爽。为了在短时间内完成作图，我的作图速度变得越来越快；为了更清晰的呈现，我养成了调整每个对象颜色大小样式的习惯；为了应对Linux系统带来的中文字体问题，我干脆把软件调成了英文……

于是，在一节数学课的课间，我走上讲台，插上U盘，在多媒体上打开 GeoGebra，几下子画出了上节课讲的数学几何题，当动点在直线上自动运动，另一个点也在坐标系上留下了它的轨迹……同学和老师们都被震撼了，还带我去隔壁四班演示。感谢这段经历，让我可以在一节数学课上，窥见一些未来多媒体教学的影子。

一些中心

说了这么多，这篇文章想要表达的是什么呢？

其实这篇文章虽然叫作“建系”指南，但在第三章才引入坐标系，而且我现在在做题时用这种方法已经不多了，并且在我看来，[第二章 确定一个图形](#第二章 确定一个图形) 才是本文最主要的内容。但解析几何作为一种思想，在我的实际解题中是非常重要的。

之前，我在做几何题时，总是被一些“基本图形”与思维定势束缚，比如“看到中点就要想到倍长”，“看到角平分线就要作垂线”，以及各种常考的模型……利用它们可以快速应对初中几何绝大多数的压轴题，但这种思维未免过于“跳跃性”了一些。我开始思考，拿到一道几何题后，该如何思考呢，是在题目中寻找到些许线索，然后套用一些固定的模型来解题吗，或者说只是“胡思乱想”，在凝视着图形中，等待一个灵感的到来……直到我了解到解析几何，在数学课本上看到了“坐标系”一词。之前我不清楚图形是什么，如何描述一个图形，只是看到试卷与课本上一条条连接起来的线。但在那之后，我感到豁然开朗，这就是我想要的东西，能够把图形这么具体的东西转化成抽象的数字和公式。

计算机识别出图象很难，但识别公式很简单，而既然计算机那么“笨”的玩意都可以通过各种公式做出题来，我们只要学会这种方法，不就可以很方便地用一种通用的方法来做题了吗？

如果在 GeoGebra 中，你要根据题目的要求画图，那么你一定会把这道题从头到尾读一遍，仔细思考，到底哪个是定点，如何在“几何画板”中确定它，各个点都是如何定义的，哪些点之间需要连接……于是，你在 GeoGebra 中作出了这个图形。你点击上面的工具栏，注意到了“距离/长度”这个工具，点击题目中求距离的两个点，它们的距离就这样被轻松计算，并显示到了屏幕上……

现在，你也可以用我上面的三四五六章的方法，像计算机一样计算出长度了。唯一的前提，就是要把这个图形在坐标系中画出来。

所以，从本质上来说，本文所说明的解题的关键，不在于建系以及许多坐标的运算，而是从整体入手，看到一道题后思考它的定义，并且利用坐标系，定义这个图形，然后求解。

致谢

在本文的撰写过程中，我深刻意识到，仅靠我一个人的力量是无法完成这样一个浩大的工程的，在这四个月里，有不少人对本文作出了积极的影响。

感谢我的父母，你们的支持是我可以完成它的必要因素。在很长的一段时间里，我都没有告诉你们我具体的工作，但你们还是一如既往地信任我，并没有因为中考的到来而强制我放弃这些“无关紧要”的东西，而是放任我在寒假和每周末把很多时间花费在这个上面，没有你们的信任就没有这篇文章。

感谢我的数学老师，虽然您经常拖堂，还说我聪明但不用功，但感谢您在课上可以单纯地因为我的“成绩好”对我放任不管。几次您经过我身边时，我并没有在完成您的课上任务，而是沉浸在自己的坐标系世界中，但您只是装作什么都没有看到（或许是真的没有注意），也不会在课上主动提问我让我难堪。感谢您提供很多数学上的思路，这对我这篇文章的学术内容有很大的帮助，也感谢您可以给我很多机会给同学们展示我的内容与想法，让我有机会逐渐明白如何讲好内容。

感谢 GeoGebra 社区维护者，这是我目前见到完成度最高的软件。每次我想到一个功能，它似乎都可以实现。本文中这些精美的插图，都是开发者们的功劳。非常有幸可以在社区上贡献自己的内容，大家随时可以在我的主页 https://www.geogebra.org/u/djl 上找到我本文中所有插图的原文件。

感谢 Typora 的开发者，对于这个出色的 Markdown 编辑器，我只能用两个字来形容：优雅。Typora 将编辑和阅读结合起来，让我在撰写时把更多精力放在内容而不是格式上。

感谢 Lily 在文章结构方面提出的建议，你让我在二月开始思考本文的结构，正是因为你才有了第一章之后流畅条理的文章思路。

感谢 137、Whitecat 等同学，可以耐心地听我讲完一道数学题，在释放我积攒已久的表达欲的同时，也让我了解如何撰写本文才能使它通俗易懂。

最后，最重要的，感谢可以看到这里的你。